BAB 6 : BARISAN DAN DERET
6.1 Barisan Takhingga
A) Rangkuman Materi
1.1 Barisan Takhingga
Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan domain himpunan bilangan bulat positif dan range himpunan bilangan bilangan real. Barisan takhingga \(a_1, a_2, a_3, a_4, \dots\) dapat dituliskan
\[ \{a_n\}_{n=1}^\infty \quad \text{atau} \quad \{a_n\} \]
1.2 Konvergensi Barisan
Suatu barisan \(\{a_n\}\) dikatakan konvergen ke limit \(L\), ditulis,
\[ \lim_{n\to+\infty} a_n = L \]
jika dan hanya jika untuk sebarang \(\epsilon > 0\), terdapat suatu bilangan bulat positif \(N\) sehingga \(|a_n - L| < \epsilon\) untuk \(n \ge N\). Suatu barisan yang tidak konvergen ke suatu limit berhingga disebut barisan *divergen*.
Jika diberikan barisan \(\{a_n\}\) dan \(\{b_n\}\) masing-masing konvergen ke limit \(L_1\) dan \(L_2\) dan \(c\) adalah suatu konstanta, maka berlaku
- \(\lim_{n\to+\infty} c = c\)
- \(\lim_{n\to+\infty} ca_n = c \lim_{n\to+\infty} a_n = cL_1\)
- \(\lim_{n\to+\infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n\to+\infty} a_n \pm \lim_{n\to+\infty} b_n = L_1 \pm L_2\)
- \(\lim_{n\to+\infty} (a_n b_n) = \lim_{n\to+\infty} a_n \lim_{n\to+\infty} b_n = L_1 L_2\)
- \(\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{a_n}{b_n}\right) = \frac{\lim_{n\to+\infty} a_n}{\lim_{n\to+\infty} b_n} = \frac{L_1}{L_2}\), jika \(L_2 \ne 0\)
Jika \(\{a_n\}\) dan \(\{c_n\}\) masing-masing konvergen ke \(L\) dan \(a_n \le b_n \le c_n\) untuk \(n \ge K\) (\(K\) bilangan bulat tertentu), maka \(\{b_n\}\) juga konvergen ke \(L\).
1.3 Barisan Monoton
Suatu barisan \(\{a_n\}_{n=1}^{+\infty}\)
Tidak turun jika \(\quad a_1 \le a_2 \le a_3 \le \dots \le a_n \le \dots\)
Turun jika \(\quad a_1 > a_2 > a_3 > \dots > a_n > \dots\)
Tidak naik jika \(\quad a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge \dots \ge a_n \ge \dots\)
Suatu barisan disebut **monoton** jika **tidak naik** atau **tidak turun**, sedangkan disebut **monoton sempurna** jika **naik** atau **turun**.
1.4 Uji Kemonotonan
| Selisih Dua Suku yang Berurutan | Klasifikasi |
|---|---|
| \(a_{n+1} - a_n > 0\) | naik |
| \(a_{n+1} - a_n < 0\) | turun |
| \(a_{n+1} - a_n \ge 0\) | tidak turun |
| \(a_{n+1} - a_n \le 0\) | tidak naik |
| Rasio dari Suku yang Berurutan | Klasifikasi |
|---|---|
| \(a_{n+1}/a_n > 1\) | naik |
| \(a_{n+1}/a_n < 1\) | turun |
| \(a_{n+1}/a_n \ge 1\) | tidak turun |
| \(a_{n+1}/a_n \le 1\) | tidak naik |
1.5 Barisan Monoton di Akhir (Eventually Monotone)
Barisan mempunyai sifat di akhir bila suku-suku dari barisan tersebut tidak mempunyai sifat tertentu di awal, tetapi mempunyai sifat tertentu dari suku tertentu.
1.6 Konvergensi Barisan Monoton
Jika \(a_1 \le a_2 \le a_3 \le \dots \le a_n \le \dots\) suatu barisan tidak turun, maka terdapat dua kemungkinan
- Terdapat konstanta A, yang disebut batas atas barisan, sedemikian sehingga \(a_n \le A\) untuk semua \(n\), dan dalam kasus ini barisan tersebut konvergen ke suatu limit \(L \le A\).
- Tidak terdapat batas atas, dan dalam kasus ini \(\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty\).
Jika \(b_1 \ge b_2 \ge b_3 \ge \dots \ge b_n \ge \dots\) suatu barisan tidak naik, maka terdapat dua kemungkinan
- Terdapat konstanta B, yang disebut **batas bawah** barisan, sedemikian sehingga \(b_n \ge B\) untuk semua \(n\), dan dalam kasus ini barisan tersebut konvergen ke suatu limit \(L \ge B\).
- Tidak terdapat batas atas, dan dalam kasus ini \(\lim_{n\to\infty} b_n = -\infty\).
(Catatan: Barisan \(\{a_n\}\) dan \(\{b_n\}\) tidak perlu monoton pada bagian awal, hanya pada suatu titik tertentu)
B) Contoh Soal
1. Tuliskan lima suku pertama barisan \(\left\{\frac{n}{2n+1}\right\}_{n=1}^\infty\). Tentukan apakah barisan konvergen; jika konvergen dapatkan limitnya.
Pembahasan:
Lima suku pertama barisan tersebut adalah \[ \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{3}{7}, \frac{4}{9}, \frac{5}{11} \]
Perhatikan bahwa \(\lim_{n\to+\infty} \frac{n}{2n+1}\) mempunyai bentuk tak tentu tipe \(\infty/\infty\), selanjutnya gunakan aturan L'Hopital untuk mendapatkan limitnya
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{n}{2n+1} = \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
Karena \(\lim_{n\to+\infty} \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2}\), maka barisan tersebut konvergen ke \(\frac{1}{2}\).
sehingga \(b_{n+1} < b_n < 1\) untuk semua \(n \in \mathbb{N}\). Dengan demikian \(\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1\) atau \(\{ne^{-n}\}_{n=1}^{+\infty}\) monoton sempurna dengan klasifikasi turun.
2. Tuliskan lima suku pertama barisan \(\left\{\frac{n^2}{2n^2+1}\right\}_{n=1}^\infty\). Tentukan apakah barisan konvergen; jika konvergen dapatkan limitnya.
Pembahasan:
Lima suku pertama barisan tersebut adalah \[ \frac{1}{3}, \frac{4}{9}, \frac{9}{19}, \frac{16}{33}, \frac{25}{51} \]
Perhatikan bahwa
\[ \begin{aligned} \lim_{n\to+\infty} \frac{n^2}{2n^2+1} &= \lim_{n\to+\infty} \frac{n^2}{n^2\left(2+\frac{1}{n^2}\right)} \\ &= \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{2+\frac{1}{n^2}} \\ &= \frac{1}{2+0} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} \]
Karena \(\lim_{n\to+\infty} \frac{n^2}{2n^2+1} = \frac{1}{2}\), maka barisan \(\left\{\frac{n^2}{2n^2+1}\right\}_{n=1}^\infty\) konvergen.
3. Gunakan \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) untuk menunjukkan bahwa barisan \(\{ne^{-n}\}_{n=1}^\infty\) yang diberikan adalah monoton sempurna dan klasifikasikan sebagai barisan naik atau turun.
Pembahasan:
Diketahui bahwa \(a_{n+1} = (n+1)e^{-(n+1)}\) dan \(a_n = ne^{-n}\), sehingga
\[ \begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{(n+1)e^{-(n+1)}}{ne^{-n}} \\ &= \frac{(n+1)e^{-n}e^{-1}}{ne^{-n}} \\ &= \frac{n+1}{ne} \\ \end{aligned} \]
Misalkan \(b_n = \frac{n+1}{ne}\). Jika \(n=1\), maka \(b_1 = \frac{2}{e} < 1\). Selanjutnya perhatikan \(b_{n+1} - b_n\):
\[ \begin{aligned} b_{n+1} - b_n &= \frac{(n+1)+1}{(n+1)e} - \frac{n+1}{ne} \\ &= \frac{n+2}{(n+1)e} - \frac{n+1}{ne} \\ &= \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{ne(n+1)} \\ &= \frac{n^2+2n - (n^2+2n+1)}{ne(n+1)} \\ &= \frac{-1}{ne(n+1)} \\ &< 0. \end{aligned} \]
C) Latihan Soal
1. Soal EAS 2021
Tentukan konvergensi barisan \(\{n \sin \frac{\pi}{n}\}_{n=1}^\infty\). Dari jawaban tersebut, tentukan konvergensi \(\left\{\frac{n^2}{2n+1} \sin \frac{\pi}{n}\right\}_{n=1}^\infty\).
Pembahasan
\(\lim_{n\to+\infty} n \sin \frac{\pi}{n}\) mempunyai bentuk tak tentu \(0 \cdot \infty\), akan dilakukan ubah bentuk menjadi \(0/0\) dan dilakukan L'Hopital
\[ \begin{aligned} \lim_{n\to+\infty} n \sin \frac{\pi}{n} &= \lim_{n\to+\infty} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{\frac{1}{n}} \\ &= \lim_{n\to+\infty} \frac{\cos \frac{\pi}{n} \left(-\frac{\pi}{n^2}\right)}{-\frac{1}{n^2}} \\ &= \lim_{n\to+\infty} \pi \cos \frac{\pi}{n} \\ &= \pi \cos 0 \\ &= \pi \end{aligned} \]
Karena \(\lim_{n\to+\infty} n \sin \frac{\pi}{n} = \pi\), maka barisan \(\{n \sin \frac{\pi}{n}\}_{n=1}^\infty\) konvergen ke \(\pi\). Selanjutnya untuk mengetahui konvergensi barisan \(\left\{\frac{n^2}{2n+1} \sin \frac{\pi}{n}\right\}_{n=1}^\infty\), kita perlu menyelidiki \(\lim_{n\to+\infty} \frac{n^2}{2n+1}\). Perhatikan bahwa \(\frac{n^2}{2n+1} \sin \frac{\pi}{n} = \frac{n}{2n+1} n \sin \frac{\pi}{n}\) dan kita tahu bahwa \(\lim_{n\to+\infty} \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2}\), sehingga berdasarkan teorema 1.2.2
\[ \begin{aligned} \lim_{n\to+\infty} \frac{n^2}{2n+1} \sin \frac{\pi}{n} &= \lim_{n\to+\infty} \frac{n}{2n+1} \cdot \lim_{n\to+\infty} n \sin \frac{\pi}{n} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \pi \\ &= \frac{\pi}{2} \end{aligned} \]
Dapatkan kemiringan garis singgung dari kurva \(r = 5 \sec(2\theta)\) di titik dengan \(\theta = \frac{\pi}{6}\).
\[ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{5\sec(2\theta) \cos\theta + \sin\theta \frac{d}{d\theta}[5\sec(2\theta)]}{-5\sec(2\theta) \sin\theta + \cos\theta \frac{d}{d\theta}[5\sec(2\theta)]}\Bigg|_{\theta=\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{5\sec(2\theta) \cos\theta + \sin\theta\, 10\sec(2\theta)\tan(2\theta)}{-5\sec(2\theta) \sin\theta + \cos\theta\, 10\sec(2\theta)\tan(2\theta)}\Bigg|_{\theta=\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{\cos\theta + 2\sin\theta\tan(2\theta)}{-\sin\theta + 2\cos\theta\tan(2\theta)}\Bigg|_{\theta=\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}}{-\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3}} \\ &= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}}{-\frac{1}{2} + 3} \\ &= \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{5}{2}} \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{5} \end{aligned} \]
Jadi, kemiringan garis singgung dari kurva \(r = 5\sec(2\theta)\) di titik dengan \(\theta = \frac{\pi}{6}\) adalah \(\frac{3\sqrt{3}}{5}\).
2. Soal EAS 2019
Diketahui barisan \(\left\{\frac{n^n}{n!}\right\}_{n=1}^\infty\).
(a) Tuliskan lima suku pertama dari barisan tersebut
(b) Dengan \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\), tunjukkan bahwa barisan tersebut monoton sempurna.
Pembahasan
(a) Lima suku pertama dari barisan tersebut adalah \[ \frac{1}{1}, \frac{4}{2}, \frac{27}{6}, \frac{256}{24}, \frac{3125}{120} \]
(b) Diketahui bahwa \(a_{n+1} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\) dan \(a_n = \frac{n^n}{n!}\) sehingga \[ \begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^n}{n!}} \\ &= \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{n^n} \\ &= \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)n!} \cdot \frac{n!}{n^n} \\ &= \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)n^n} \\ &= \frac{(n+1)^n (n+1)}{(n+1)n^n} \\ &= \frac{(n+1)^n}{n^n} \\ &= \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \\ &= \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \end{aligned} \]
Karena \(\frac{1}{n} > 0\), maka \(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n > 1\) atau barisan \(\left\{\frac{n^n}{n!}\right\}_{n=1}^\infty\) naik, monoton sempurna.
3. Perhatikan barisan \(\{a_n\}_{n=1}^\infty\) yang mempunyai suku ke-n
\[ a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} \]
Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to+\infty} a_n = \ln 2\).
Hint: Interpretasikan \(\lim_{n\to+\infty} a_n\) sebagai integral tertentu.
Pembahasan
Ingat bahwa definisi integral tertentu dalam limit jumlah riemann
\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k^*) \Delta x_k, \]
dengan \(\Delta x_k = \frac{b-a}{n}\), sehingga \(x_k = a + k\Delta x\). Identifikasi bahwa \(\Delta x_k = \frac{b-a}{n} = \frac{1}{n} \to b-a = 1\), sehingga \(f(\overline{x}_k) = \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}\). Pilih \(a=1 \to b=2\), sehingga \(f(\overline{x}_k) = \frac{1}{x}\). Dengan demikian dengan definisi di atas diperoleh
\[ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} a_n &= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} \cdot \frac{1}{n} \\ &= \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx \\ &= [\ln |x|]_{1}^{2} \\ &= \ln 2 - \ln 1 \\ &= \ln 2 \end{aligned} \]
© Copyright 2025 | KP Mahasiswa Matematika 2022